Dear All My Friends,
My Avatar is a image for very simple geometry problem:
Given convex quadrilateral ABCD with M, N, P, Q are midpoints of sides AB, BC, CD, DA respectively. Four segments AP, BQ, CM, DN bound one center convex quadrilateral (red color) and bound with sides of ABCD four small vertex triangles (yellow color).
The result is: area of center quadrilateral is sum of areas of four small vertex triangles. Please see this result:
Denote S is area of ABCD, Sc is area of center quadrilateral. I still not get the proof for the fact:
5 Sc≤ S
I am very happy if any one can prove it.
Thank you and best regards,
Bui Quang Tuan
.
Các bạn thân mến,
Hình đại diện của tôi là một bài toán hình học đơn giản:
Cho tứ giác lồi ABCD có M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA tương ứng. Bốn đoạn thẳng AP, BQ, CM, DN tạo thành một tứ giác lồi ở tâm (màu đỏ) và tạo với các cạnh của ABCD bốn tam giác nhỏ ở đỉnh (màu vàng).
Kết quả là: diện tích tứ giác ở tâm bằng tổng diện tích bốn tam giác nhỏ ở đỉnh. Hãy xem kết quả này tại:
Ký hiệu S là diện tích của ABCD, Sc là diện tích của tứ giác ở tâm. Tôi vẫn chưa chứng minh được kết quả sau:
5 Sc≤ S
Tôi rất vui nếu có ai đó chứng minh được điều này.
Trân trọng cảm ơn,
Bùi Quang Tuấn
Cháu có một ý tưởng nhỏ để chứng minh bài toán rất đẹp của chú :P
Cháu có nhận xét là
Do đó tương tự với hai tam giác do đó $S=S_{ADP}+S_{BMC}+S_{DNC}+S_{BQA}=[S_{ABCD}-S_{red}]+S_{yeallow}=S-S_{red}+S_{yeallow}$
Vậy
Cháu cũng không biết có đúng chú ạ :P vì đầu tiên khi đọc cháu rất quan tâm đến bdt hình học chú đưa ra sau một hồi biến đổi lại thu được chứng minh đó, cháu vẫn đang thử chứng minh bất đẳng thức của chú :)!
Cháu có một ý tưởng nhỏ để chứng minh bài toán rất đẹp của chú :P
Cháu có nhận xét là S_{ADP}=\frac{1}{2}S_{ADC},S_{BMC}=\frac{1}{2}S_{ABC}\Rightarrow S_{ADP}+S_{BMC}=\frac{1}{2}S_{ABCD}
Do đó tương tự với hai tam giác do đó![S=S_{ADP}+S_{BMC}+S_{DNC}+S_{BQA}=[S_{ABCD}-S_{red}]+S_{yeallow}=S-S_{red}+S_{yeallow}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=S%3DS_%7BADP%7D%2BS_%7BBMC%7D%2BS_%7BDNC%7D%2BS_%7BBQA%7D%3D%5BS_%7BABCD%7D-S_%7Bred%7D%5D%2BS_%7Byeallow%7D%3DS-S_%7Bred%7D%2BS_%7Byeallow%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0 "S=S_{ADP}+S_{BMC}+S_{DNC}+S_{BQA}=[S_{ABCD}-S_{red}]+S_{yeallow}=S-S_{red}+S_{yeallow}")
Vậy S_{red}=S_{yeallow}
Cháu cũng không biết có đúng chú ạ :P vì đầu tiên khi đọc cháu rất quan tâm đến bdt hình học chú đưa ra sau một hồi biến đổi lại thu được chứng minh đó, cháu vẫn đang thử chứng minh bất đẳng thức của chú :)!
By Michael (19 May 2010), the result:
1/5 area ABCD >= area EFGH > 1/6 area ABCD
is Sylvie’s Theorem (1995).
Theo Michael (19 May 2010), kết quả:
1/5 area ABCD >= area EFGH > 1/6 area ABCD
là định lý Sylvie (1995).
See:
http://www.cut-the-knot.org/htdocs/dcforum/DCForumID6/656.shtml
And:
http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/sylvie.html
Thank Michael for the reference!