Ba Đường Tròn – Một Lục Giác Nội tiếp

Tôi tìm ra phương pháp đơn giản này để dựng sáu điểm trên các cạnh của tam giác và nằm trên một đường tròn vào ngày 6 tháng 4 năm 2006, và đã gửi lên Hyacinthos Geometry Forum.

.

Cụ thể như sau:

.

Định lý:

Nếu ba đường tròn đồng quy tại một điểm Ceva và ba điểm chung khác của chúng nằm trên ba đường thẳng Ceva và ba đường tròn này cắt các đường thẳng cạnh tam giác tại sáu điểm thì sáu điểm này nằm trên một đường tròn.

.
Chứng minh:

Giả sử P là một điểm trên mặt phẳng tam giác ABC; (O_a), (O_b), (O_c) là ba đường tròn đồng quy tại P và có ba điểm chung khác: A_o trên đường thẳng Ceva AP, B_o trên đường thẳng Ceva BP, C_o trên đường thẳng Ceva CP. Điều đó có nghĩa là: (O_a) là đường tròn ngoại tiếp PB_oC_o, (O_b) là đường tròn ngoại tiếp PC_oA_o, (O_c) là đường tròn ngoại tiếp PA_oB_o .Giả sử (O_a), (O_b), (O_c) cắt các đường thẳng cạnh tam giác BC, CA, AB tại A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂ tương ứng. Ta chứng minh sáu điểm này nằm trên đường tròn.

.
Ta sử dụng định lý phương tích của đường tròn:
.

- Phương tích của A với các đường tròn (O_b) và (O_c):
AC₁*AC₂ = AA_o*AP = AB₁*AB₂ do đó B₁, B₂, C₁, C₂ nằm trên một đường tròn, giả sử là đường tròn (K) và (K) cắt BC tại D và E.

.
- Phương tích của B với đường tròn (K): BC₁*BC₂ = BD*BE
- Phương tích của B với đường tròn (O_c): BC₁*BC₂ = BB_o*BP
Từ đó BD*BE = BB_o*BP nên D, E, B_o, P nằm trên một đường tròn, giả sử (K₁)

.

- Phương tích của C với đường tròn (K): CB₁*CB₂ = CD*CE
- Phương tích của C với đường tròn (O_b): CB₁*CB₂ = CC_o*CP
Từ đó CD*CE = CC_o*CP nên D, E, C_o, P nằm trên một đường tròn, giả sử (K₂)

.

Hai đường tròn (K₁), (K₂) có ba điểm chung D, E, P do đó chúng là một, giả sử (K’). Đường tròn (K’) đi qua P, B_o, C_o nên nó chính là đường tròn (O_a) = (K’) và D, E là giao điểm của (O_a) và đường thẳng cạnh BC. Điều đó có nghĩa là D, E chính là A₁, A₂ và sáu điểm A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂ cùng nằm trên một đường tròn (K).

.

Chú ý:

1. Nói chung, ba đường tròn (O_a), (O_b), (O_c) có thể không cắt các đường thẳng cạnh tam giác ABC tuy nhiên trong những trường hợp đặc biệt của P ta có thể chọn các đường tròn thích hợp (O_a), (O_b), (O_c) để chúng luôn cắt các đường thẳng cạnh tam giác ABC. Ví dụ:

2. Nếu P là trực tâm H, ta có thể chọn (O_a) là đường tròn tâm tại trung điểm BC và đi qua H. (O_b), (O_c) được xác định tương tự.
3. Nếu P là tâm nội tiếp I, ta có thể chọn (O_a) là đường tròn tâm tại tiếp điểm với BC và đi qua tâm nội tiếp I. (O_b), (O_c) được xác định tương tự.

4. Với mỗi P, ta có thể chọn các phương án khác nhau cho (O_a), (O_b), (O_c) và có được những kết quả thú vị khác nhau.