Two points X, Y are on radius line OA of unit circle (O). Perpendiculars with OA from X, Y cut the circle at B, C respectively. Moreover B, C are in two different sides with respect to OA. M is intersection of two lines BC, OA.
Suppose O is origin of number line OA and OA = +1, x = OX, y = OY, m = OM. Suppose A’ is symmetry of A in O; D is midpoint of arc AA’; E is a point on OA and OE = +3/2. F is intersection of (O) and DE (other than D). See figure 1.
Figure 1
We calculate m.
Two triangles MXB, MYC are similar, therefore:
(y – m)/(m – x) = CY/BX (1)
By Pythagorean theorem:
BX = Sqrt(OB^2 – OX^2) = Sqrt(1 – x^2) (2)
CY = Sqrt(OC^2 – OY^2) = Sqrt(1 – y^2) (3)
Replacing (2), (3) in (1) and find m by x, y we have:
m = (x*Sqrt(1 – y^2) + y*Sqrt(1 – x^2))/(Sqrt(1 – x^2) + Sqrt(1 – y^2)) (4)
M divides AO by golden ratio if and only if:
AM/MO = φ if and only if m = 1/(1 + φ)
Solve equation (4) with m = 1/(1 + φ) we have found:
y = (3x – 2)/(2x – 3) (5)
here x is any real point on segment (-1,+1)
y = (3x – 2)/(2x – 3) if and only if (3/2 – x)*(3/2 – y) = 5/4
By power of point with respect to a circles, it is happened if and only if X, Y, D, F are concyclic. (Because EF*ED = EA*EA’ = 1/2*5/2 = 5/4)
Because D and F are fixed, from these results we can construct M which divides AO by golden ratio:
- Choose any point X in segment A’A
- Circumcircle DFX cuts number lines OA again at Y.
- Construct B, C, M as mentioned above and AM/MO = φ
Using (5) we can calculate two special simple cases:
x = 0, y= 2/3
See figure 2
Figure 2
x = 1/4, y = 1/2
See figure 3
Figure 3
It is interesting that second case is the Kurt Hofstetter, Another 5-step division of a segment in the golden section, Forum Geometricorum 4 (2004) 21–22:
http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200402index.html
O’ is reflection of O in A. Three circles O(A), A(O), O’(O) and BC bound exactly Hofstetter’s construction in mentioned paper. See figure 4.
Figure 4
==============================
Hai điểm X, Y trên đường bán kính OA của đường tròn đơn vị (O). Các đường vuông góc với OA từ X, Y cắt đường tròn đó tại B, C tương ứng. Hơn nữa, B, C ở về hai phía khác nhau so với OA. M là giao của hai đường thẳng BC, OA.
Giả sử O là gốc trục số OA và OA = +1, x = OX, y = OY, m = OM. Giả sử A’ là đối xứng của A qua O; D là trung điểm cung AA’; E là điểm trên OA và OE = +3/2. F là giao điểm của (O) và DE (khác D). Xem hình 1.
Hình 1
Ta tính m.
Hai tam giác MXB, MYC đồng dạng, do đó:
(y – m)/(m – x) = CY/BX (1)
Theo định lý Pythagore:
BX = Sqrt(OB^2 – OX^2) = Sqrt(1 – x^2) (2)
CY = Sqrt(OC^2 – OY^2) = Sqrt(1 – y^2) (3)
Thay (2), (3) vào (1) và tìm m theo x, y ta có:
m = (x*Sqrt(1 – y^2) + y*Sqrt(1 – x^2))/(Sqrt(1 – x^2) + Sqrt(1 – y^2)) (4)
M chia AO theo tỷ số vàng khi và chỉ khi:
AM/MO = φ khi và chỉ khi m = 1/(1 + φ)
Giải phương trình (4) với m = 1/(1 + φ) ta tìm được:
y = (3x – 2)/(2x – 3) (5)
trong đó x là điểm thực bất kỳ trong đoạn (-1, +1)
y = (3x – 2)/(2x – 3) khi và chỉ khi (3/2 – x)*(3/2 – y) = 5/4
Theo phương tích của điểm đối với đường tròn, điều đó xảy ra khi và chỉ khi X, Y, D, F nằm trên đường tròn. (Vì EF*ED = EA*EA’ = 1/2*5/2 = 5/4).
Do D và F cố định, từ các kết quả trên ta có thể dựng điểm M chia AO theo tỷ số vàng:
- Lấy điểm X bất ký trong đoạn A’A
- Đường tròn ngoại tiếp DFX cắt trục số OA tiếp tại Y.
- Dựng B, C, M như nói trên và AM/MO = φ
Sử dụng (5) ta có thể tính hai trường hợp đặc biệt đơn giản:
x = 0, y= 2/3
Xem hình 2
Hình 2
x = 1/4, y = 1/2
Xem hinh 3
Hình 3
Có điểm thú vị là trường hợp 2 chính là cách dựng tỷ số vàng 5 bước khác của Kurt Hofstetter, Forum Geometricorum 4 (2004) 21–22:
http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200402index.html
O’ là đối xứng của O qua A. Ba đường tròn O(A), A(O), O’(O) và BC tạo chính xác thành cách dựng của Hofstetter trong bài báo nói trên. Xem hình 4.
Hình 4
