In “A simple construction of the golden section”, Forum Geometricorum, 11 (2011) 53:
http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201105index.html
Jo Niemeyer offered a beautiful way of constructing the Golden Ratio with three equal segments.
It is interesting that Jo Niemeyer’s construction can be proved by using Kurt Hofstetter’s construction in “A Simple Construction of the Golden Section”, Forum Geometricorum, 2 (2002) 65–66:
http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200208index.html
Detail as following:
We use diagram in Jo Niemeyer’s FG paper. L is perpendicular bisector of A1A2. The circle B3(A1) with diameter A2B2 with center B3 passing A1 cuts L at C, D (C is the same side with B3 wrt A1A2). The circle D(A1) centered at D passing B3, A2 cuts L at E (other than B3). The circle B3(E) pass through A3 because A3B3=A2B2=B3E. The circle D(C) pass through A3 because symmetries.
Four circles B3(A1), D(A1), B3(E), D(C) bound exactly Kurt Hofstetter’s construction in above paper.
Trong bài báo “Một phép dựng đơn giản tỷ số vàng”, Forum Geometricorum, 11 (2011) 53:
http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201105index.html
Jo Niemeyer cung cấp một cách dựng tỷ số vàng rất đẹp với ba đoạn thẳng bằng nhau.
Rất thú vị là phép dựng Jo Niemeyer có thể được chứng minh bằng cách dùng phép dựng của Hofstetter trong bài báo “Một phép dựng đơn giản tỷ số vàng”, Forum Geometricorum, 2 (2002) 65–66:
http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200208index.html
Cụ thể như sau:
Ta dùng hình vẽ trong bài báp của Jo Niemeyer. L là đường trung trực của A1A2. Đường tròn B3(A1) đường kính A2B2 có tâm tại B3 đi qua A1 cắt L tại C, D (C ở cùng phía với B3 so với A1A2). Đường tròn D(A1) có tâm tại D, đi qua B3, A2 cắt L tại E (khác B3). Đường tròn B3(E) đi qua A3 bởi vì A3B3=A2B2=B3E. Đường tròn D(C) đi qua A3 bởi vì đối xứng.
Bốn đường tròn B3(A1), D(A1), B3(E), D(C) tạo thành chính xác phép dựng của Kurt Hofstetter trong bài báo trên.
My Hyacinthos Message:
http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/message/20523
Posted by hinhoc 
