In “A simple construction of the golden section”, Forum Geometricorum, 11 (2011) 53:

http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201105index.html

Jo Niemeyer offered a beautiful way of constructing the Golden Ratio with three equal segments.

It is interesting that Jo Niemeyer’s construction can be proved by using Kurt Hofstetter’s construction in “A Simple Construction of the Golden Section”, Forum Geometricorum, 2 (2002) 65–66:

http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200208index.html

Detail as following:

We use diagram in Jo Niemeyer’s FG paper. L is perpendicular bisector of A1A2. The circle B3(A1) with diameter A2B2 with center B3 passing A1 cuts L at C, D (C is the same side with B3 wrt A1A2). The circle D(A1) centered at D passing B3, A2 cuts L at E (other than B3). The circle B3(E) pass through A3 because A3B3=A2B2=B3E. The circle D(C) pass through A3 because symmetries.

Four circles B3(A1), D(A1), B3(E), D(C) bound exactly Kurt Hofstetter’s construction in above paper.

Trong bài báo “Một phép dựng đơn giản tỷ số vàng”, Forum Geometricorum, 11 (2011) 53:

http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201105index.html

Jo Niemeyer cung cấp một cách dựng tỷ số vàng rất đẹp với ba đoạn thẳng bằng nhau.

Rất thú vị là phép dựng Jo Niemeyer có thể được chứng minh bằng cách dùng phép dựng của Hofstetter trong bài báo “Một phép dựng đơn giản tỷ số vàng”, Forum Geometricorum, 2 (2002) 65–66:

http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200208index.html

Cụ thể như sau:

Ta dùng hình vẽ trong bài báp của Jo Niemeyer. L là đường trung trực của A1A2. Đường tròn B3(A1) đường kính A2B2 có tâm tại B3 đi qua A1 cắt L tại C, D (C ở cùng phía với B3 so với A1A2). Đường tròn D(A1) có tâm tại D, đi qua B3, A2 cắt L tại E (khác B3). Đường tròn B3(E) đi qua A3 bởi vì A3B3=A2B2=B3E. Đường tròn D(C) đi qua A3 bởi vì đối xứng.

Bốn đường tròn B3(A1), D(A1), B3(E), D(C) tạo thành chính xác phép dựng của Kurt Hofstetter trong bài báo trên.

My Hyacinthos Message:
http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/message/20523

Suppose O is origin of number line OA and OA = +1, x = OX, y = OY, m = OM. Suppose A’ is symmetry of A in O; D is midpoint of arc AA’; E is a point on OA and OE = +3/2. F is intersection of (O) and DE (other than D). See figure 1.

Figure 1

We calculate m.

Two triangles MXB, MYC are similar, therefore:
(y – m)/(m – x) = CY/BX (1)

By Pythagorean theorem:
BX = Sqrt(OB^2 – OX^2) = Sqrt(1 – x^2) (2)
CY = Sqrt(OC^2 – OY^2) = Sqrt(1 – y^2) (3)

Replacing (2), (3) in (1) and find m by x, y we have:
m = (x*Sqrt(1 – y^2) + y*Sqrt(1 – x^2))/(Sqrt(1 – x^2) + Sqrt(1 – y^2)) (4)

M divides AO by golden ratio if and only if:
AM/MO = φ if and only if m = 1/(1 + φ)

Solve equation (4) with m = 1/(1 + φ) we have found:
y = (3x – 2)/(2x – 3) (5)
here x is any real point on segment (-1,+1)

y = (3x – 2)/(2x – 3) if and only if (3/2 – x)*(3/2 – y) = 5/4

By power of point with respect to a circles, it is happened if and only if X, Y, D, F are concyclic. (Because EF*ED = EA*EA’ = 1/2*5/2 = 5/4)

Because D and F are fixed, from these results we can construct M which divides AO by golden ratio:
- Choose any point X in segment A’A
- Circumcircle DFX cuts number lines OA again at Y.
- Construct B, C, M as mentioned above and AM/MO = φ

Using (5) we can calculate two special simple cases:

x = 0, y= 2/3
See figure 2

Figure 2

x = 1/4, y = 1/2
See figure 3

Figure 3

It is interesting that second case is the Kurt Hofstetter, Another 5-step division of a segment in the golden section, Forum Geometricorum 4 (2004) 21–22:

http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200402index.html

O’ is reflection of O in A. Three circles O(A), A(O), O’(O) and BC bound exactly Hofstetter’s construction in mentioned paper. See figure 4.

Figure 4

==============================
Hai điểm X, Y trên đường bán kính OA của đường tròn đơn vị (O). Các đường vuông góc với OA từ X, Y cắt đường tròn đó tại B, C tương ứng. Hơn nữa, B, C ở về hai phía khác nhau so với OA. M là giao của hai đường thẳng BC, OA.

Giả sử O là gốc trục số OA và OA = +1, x = OX, y = OY, m = OM. Giả sử A’ là đối xứng của A qua O; D là trung điểm cung AA’; E là điểm trên OA và OE = +3/2. F là giao điểm của (O) và DE (khác D). Xem hình 1.

Hình 1
Ta tính m.
Hai tam giác MXB, MYC đồng dạng, do đó:
(y – m)/(m – x) = CY/BX (1)

Theo định lý Pythagore:
BX = Sqrt(OB^2 – OX^2) = Sqrt(1 – x^2) (2)
CY = Sqrt(OC^2 – OY^2) = Sqrt(1 – y^2) (3)

Thay (2), (3) vào (1) và tìm m theo x, y ta có:
m = (x*Sqrt(1 – y^2) + y*Sqrt(1 – x^2))/(Sqrt(1 – x^2) + Sqrt(1 – y^2)) (4)

M chia AO theo tỷ số vàng khi và chỉ khi:
AM/MO = φ khi và chỉ khi m = 1/(1 + φ)

Giải phương trình (4) với m = 1/(1 + φ) ta tìm được:
y = (3x – 2)/(2x – 3) (5)
trong đó x là điểm thực bất kỳ trong đoạn (-1, +1)

y = (3x – 2)/(2x – 3) khi và chỉ khi (3/2 – x)*(3/2 – y) = 5/4

Theo phương tích của điểm đối với đường tròn, điều đó xảy ra khi và chỉ khi X, Y, D, F nằm trên đường tròn. (Vì EF*ED = EA*EA’ = 1/2*5/2 = 5/4).

Do D và F cố định, từ các kết quả trên ta có thể dựng điểm M chia AO theo tỷ số vàng:

- Lấy điểm X bất ký trong đoạn A’A
- Đường tròn ngoại tiếp DFX cắt trục số OA tiếp tại Y.
- Dựng B, C, M như nói trên và AM/MO = φ

Sử dụng (5) ta có thể tính hai trường hợp đặc biệt đơn giản:

x = 0, y= 2/3
Xem hình 2

Hình 2

x = 1/4, y = 1/2
Xem hinh 3

Hình 3

Có điểm thú vị là trường hợp 2 chính là cách dựng tỷ số vàng 5 bước khác của Kurt Hofstetter, Forum Geometricorum 4 (2004) 21–22:

http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200402index.html

O’ là đối xứng của O qua A. Ba đường tròn O(A), A(O), O’(O) và BC tạo chính xác thành cách dựng của Hofstetter trong bài báo nói trên. Xem hình 4.

Hình 4

Results: Common chord AB divides diameter EF by golden ratio and of course AEF is golden triangle.

Proof

Suppsose M is intersection of AB, EF. Because A is on parabola so AF = CA = EM. Suppose EM/MF = x and MF = a.
We calculate:
EF = EM + MF = x*a + a
EA/MA = AF/MF = CA/MF = EM/MF = x
EA = x*MA = x*sqrt(EM*MF) = x*sqrt(x*a^2)
By Pythagore theorem:
EF^2 = EA^2 + AF^2
therefore:
(x*a + a)^2 = (x*sqrt(x*a^2))^2 + (x*a)^2
a^2*(x + 1)^2 = x^3*a^2 + x^2*a^2
(x + 1)^2 = x^2*(x + 1)
with condition x>1 there is only one solution x = φ the golden ratio.
EF/AF = AF/MF = φ therefore AEF is golden triangle.

Điểm E là hình chiếu vuông góc của tiêu cự F lên đường chuẩn của Parabola. Đường tròn đường kính EF cắt parabola tại hai điểm A, B.

Kết quả: Dây cung chung AB chia đường kính EF theo tỷ số vàng và dĩ nhiên, AEF là tam giác vàng.

Chứng minh

Giả sử M là giao của AB, EF. Vì A trên parabola nên AF = CA = EM. Giả sử EM/MF = x và MF = a.
Ta tính toán:
EF = EM + MF = x*a + a
EA/MA = AF/MF = CA/MF = EM/MF = x
EA = x*MA = x*sqrt(EM*MF) = x*sqrt(x*a^2)
Theo định lý Pythagore:
EF^2 = EA^2 + AF^2
suy ra:
(x*a + a)^2 = (x*sqrt(x*a^2))^2 + (x*a)^2
a^2*(x + 1)^2 = x^3*a^2 + x^2*a^2
(x + 1)^2 = x^2*(x + 1)
với điều kiện x>1 chỉ có một nghiệm duy nhất x = φ, tỷ số vàng.
EF/AF = AF/MF = φ suy ra AEF là tam giác vàng.

My Hyacinthos message:
http://tech.groups.yahoo.com/ group/Hyacinthos/message/20461

I slightly change it to get one fixed image in which all seven triangles are determined and their sides can be calculated. The diagram also can be constructed by following order of points: A, B, C, D, E, F, G, H.

Trong bài viết trên CTK nhan đề Triangle Classification có một sơ đồ rất thú vị của H. R. Jacobs. Trong một hình chữ nhật đã biểu thị được tất cả bảy loại tam giác khác nhau. Tôi rất thích nó.

Tôi thay đổi đi tý chút để có được một hình cố định, trong đó, tất cả bảy tam giác đều được xác định và các cạnh của chúng có thể tính được. Sơ đồ cũng có thể được dựng theo thứ tự điểm: A, B, C, D, E, F, G, H.

When I die…  two points still make a line
The constant distance still makes a circle
The trilinears and the barycentrics
Are still used on triangle center sites.

When I die…  something is still mine!

Khi tôi chết… hai điểm vẫn tạo nên đường thẳng
Khoảng cách không đổi vẫn tạo nên đường tròn
Tọa độ khối tâm và tọa độ ba khoảng cách
Vẫn được dùng trong các trang về tâm tam giác

Khi tôi chết… có gì đó vẫn còn là của tôi.

My Hyacinthos message #20351

You can read more references in proof #64 at:
Các bạn có thể tham khảo thêm ở chứng minh #64 tại: Pythagorean Theorem

We denote (X, x) as a circle centered at X with radius x.

In square ABCD: M, N, P are midpoints of AB, BC, CD respectively. a is sidelength of the square.
E = intersection of AN, DM
F = intersection of AN, BP
(I₁, r₁) = incircle of triangle ABF
(I₂, r₂) = incircle of triangle CEN
(I₃, r₃) = incircle of triangle CDE

Results:
1. E, I₁, I₂, I₃ are concyclic on one circle, say (I, r)
2. a/(2*r) = EI₃/EI₁ = r₃/r₁ = r₁/(2*r₂) + 1 = golden ratio = (1+Sqrt(5))/2
3. r = r₁ + r₂

This is my Hyacinthos message #17010:

http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/message/17010

Các Tâm Nội Tiếp Và Tỷ Số Vàng Trong Hình Vuông

Ta ký hiệu (X, x) là đường tròn tâm X có bán kính x.

Trong hình vuông ABCD: M, N, P là trung điểm của AB, BC, CD tương ứng. a là độ dài cạnh hình vuông.
E = giao điểm của AN, DM
F = giao điểm của AN, BP
(I₁, r₁) = đường tròn nội tiếp của tam giác ABF
(I₂, r₂) = đường tròn nội tiếp của tam giác CEN
(I₃, r₃) = đường tròn nội tiếp của tam giác CDE

Các kết quả:
1. E, I₁, I₂, I₃ cùng nằm trên một đường tròn, gọi là (I, r)
2. a/(2*r) = EI₃/EI₁ = r₃/r₁ = r₁/(2*r₂) + 1 = tỷ số vàng = (1+Sqrt(5))/2
3. r = r₁ + r₂

Đây là mẩu tin Hyacinthos số #17010 của tôi:

http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/message/17010

Một vật thể hình học phức tạp không đem lại nhiều kiến thức hình học hơn một vật thể đơn giản. Hơn thế, nhiều khi một vật thể hình học phức tạp có thể làm chúng ta khó nhận ra bản chất của các sự kiện hình học.

Geometry is a mathematical science in which we must think by eye, we must see by brain and we must work by imaginativeness.

.

Hình học là khoa học toán học trong đó ta phải nghĩ bằng mắt, ta phải nhìn bằng óc và ta phải làm việc bằng trí tưởng tượng.

ABCD is a square with center E.

M, N, P, Q are midpoints of segments AB, BC, CD, AE respectively. Other points are constructed by intersections of lines as in the picture. They bound one yellow heptagon in the picture.

Prove that the heptagon is inscribed in one circle and calculate area of the heptagon by area of the square.

.

ABCD là hình vuông có tâm E.

M, N, P, Q là điểm giữa các đoạn AB, BC, CD, AE tương ứng. Các điểm khác được dựng bằng các giao điểm của các đường thẳng như trong hình vẽ. Chúng tạo ra một đa giác bảy cạnh như trong hình vẽ.

Chứng minh rằng hình bảy cạnh đó nội tiếp trong một đường tròn và tính diện tích hình bảy cạnh theo diện tích hình vuông.