Finite and infinite regions defined by n lines in the plane

It is well known result in plane geometry: The maximum number of regions defined by n lines in the plane is R(n) = n(n+1)/2 +1. Of course, there are not any parallel pair from these lines. All sets of lines discussed here covers this future.

In these R(n) regions we can see some of them are finite and some of them are infinite (see figure). Please note that infinite region contains infinite ends of some lines. We denote number of finite regions as fR(n) and number of infinite regions as iR(n).

Of course R(n) = fR(n) + iR(n)

Now we try to calculate iR(n) and then fR(n).

Suppose now we have n lines with iR(n) infinite regions. We draw any new line L so we have now n+1 lines (see figure).

The line L has two infinite ends say A, B. From one this infinite end A we can see the line L divide one old infinite region (A) into two new infinite regions (1) and (2). So the number of infinite regions increases by 1. Similarly, from other infinite end B of L we see that the number of infinite regions increases by 1 also.

It means that iR(n+1) = iR(n) + 2

n = 1, iR(1) = 2

n = 2, iR(2) = 4

Therefor iR(n) = 2n

fR(n) = R(n) – iR(n) = n(n+1)/2 +1 – 2n = (n-1)(n-2)/2

Our conclude results:

  1. The number of infinite regions defined by n lines is iR(n) = 2n
  2. The maximum number of finite regions defined by n lines is fR(n) = (n-1)(n-2)/2

RiRfR

Posted in Triangle Geometry | Tagged , , , , , , , | Leave a comment

Using sum of squares triangle to prove sum of squares formula

SumOfSquare

We construct a number triangle from the integers 1, 2, 3, . . . n as follows. The first column contains 2*n-1 integers 1. The second column contains 2*n-3 integers 2. . . The last column contains only one integer n. Here is an example with n = 5.

1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 4
1 2 3
1 2
1

Now we calculate T(n), the sum of all numbers in the triangle by two ways: By row and by column.

1. Calculation by column:

T(n) =

1*(2n-1) + 2*(2n-1-2) + 3*(2n-1-4) + . . . + i*(2n-1-2*(i-1)) + . . . + n*(2n-1-2(n-1))

1*(2n+1-2) + 2*(2n+1-4)+ 3*(2n+1-6) + . . . + i*(2n+1-2*i) + . . . + n*(2n+1-2n)

(2n+1)*(1 + 2 + . . . + n) – 2*(1^2 + 2^2 + . . . + n^2)

(2n+1)*(n+1)*n/2 – 2*(1^2 + 2^2 + . . . + n^2)

So T(n) = (2n+1)*(n+1)*n/2 – 2*(1^2 + 2^2 + . . . + n^2)

T(n) = (2n+1)*(n+1)*n/2 – 2*S(n) where S(n) = (1^2 + 2^2 + . . . + n^2) (1)

2. Calculation by row:

Please note that the triangle is symmetrical by middle row 1, 2, 3 . . . n

T(n) =

2*(1 + (1+2) + (1+2+3) + . . . + (1+2+ . . . + n-1)) + (1+2+ . . . + n)

2*(1*(1+1)/2 + 2*(2+1)/2 + (3*(3+1)/2) + . . . + (n-1)*n/2) + n*(n+1)/2

1*(1+1) + 2*(2+1) + 3*(3+1) + . . . + (n-1)*(n-1+1) + n*(n+1)/2

1^1 +1 + 2^2 +2 + . . . + (n-1)^2 + (n-1) + n*(n+1)/2

1^1 + 2^2 + . . . + (n-1)^2 + 1 + 2 + . . . + (n-1) + n*(n+1)/2

1^1 + 2^2 + . . . + (n-1)^2 + n^2 + 1 + 2 + . . . + (n-1) + n*(n+1)/2 – n^2

S(n) + (n-1)*n/2 + n*(n+1)/2 – n^2

T(n) = S(n) + (n-1)*n/2 + n*(n+1)/2 – n^2 = S(n) (2)

From (1), (2)

(2n+1)*(n+1)*n/2 – 2*S(n) = S(n)

S(n) = (2n+1)*(n+1)*n/6

It is sum of square formula.

Posted in Triangle Geometry | Tagged , , , , , , | Leave a comment

New property of Bui chord circles – Tính chất mới của đường tròn dây cung Bui

November 12, 2011 Alexander Bogomolny published in Cut The Knot my “Pair of Siblings to Archimedes’ Twins“:
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArbelosBui.shtml (*)

This pair later is collected by Floor van Lamoen in Online catalogue of Archimedean circles and named as “Bui chord circles“:
http://home.wxs.nl/~lamoen/wiskunde/Arbelos/58Buichords.htm

They also mentioned by Floor van Lamoen in Forum Geometricorum paperA Special Point in the Arbelos Leading to a Pair of Archimedean Circles“:
http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201427.pdf

My result is related to very famous special geometry shape named arbelos as in following diagram.
NewProp1000
C is any point on segment AB. Three semicircles (O), (O1), (O2) taken AB, AC, BC as diameters with centers O, O1, O2 respectively. Two lines from O1, O2 and perpendicular to AB intersect semicircle (O) at D1, D2 respectively. D1A, D1C intersect semicircle (O1) at E1, F1 respectively. Similarly D2C, D2B intersect semicircle (O2) at E2, F2 respectively. (K1), (K2) are two circles taken E1F1, E2F2 as diameters.

It is well known that the radius of Archimedes Twins is:

r = r1*r2/(r1+r2) here r1, r2 are radii of semicircles (O1), (O2).

In (*) we already proved that E1F1 = E2F2 = 2*r

Suppose D1A, D1C intersect circle (K1) at G1, H1 respectively. Similarrly D2C, D2B intersect circle (K2) at G2, H2 respectively. We now prove that:

G1H1 + G2H2 = 2*r

Proof:

Triangle D1AC combine with semicircle (O1) to create one figure.
Triangle D1E1F1 combine with semicircle (K1) to create other figure.
These two figures are similar therefore:
G1H1/E1F1 = E1F1/AC
G1H1 = E1F1* E1F1/AC = 2*r1*r2/(r1 + r2)*2*r1*r2/(r1 + r2)/(2*r1)
G1H1 = 2*r1*r2*r2/(r1 + r2)^2 (1)
And similarly we have:
G2H2 = 2*r1*r1*r2/(r1 + r2)^2 (2)
Sum (1) and (2) :
G1H1 + G2H2 = (2*r1*r2*r2 + 2*r1*r1*r2)/(r1 + r2)^2
= 2*r1*r2*(r1 + r2)/ (r1 + r2)^2
= 2*r1*r2/(r1 + r2)
= 2*r
So G1H1 + G2H2 = 2*r as needed.

My facebook Cut The Knot message (January 3, 2015):
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=847615095261427

End of English part.


Bắt đầu phần tiếng Việt.

Ngày 12/11/2011 Alexander Bogomolny xuất bản trên Cut The Knot kết quả của tôi “Pair of Siblings to Archimedes’ Twins“:
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArbelosBui.shtml (*)

Cặp đường tròn đó sau này được Floor van Lamoen đưa vào Online catalogue of Archimedean circles và đặt tên là “đường tròn dây cung Bui“:
http://home.wxs.nl/~lamoen/wiskunde/Arbelos/58Buichords.htm

Chúng cũng được Floor van Lamoen nhắc đến trong bài báo Forum GeometricorumA Special Point in the Arbelos Leading to a Pair of Archimedean Circles“:
http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201427.pdf

Kết quả đó của tôi liên quan tới một hình hình học đặc biệt nổi tiếng gọi là arbelos như trong hình vẽ sau.
NewProp1000
C là điểm bất kỳ trên đoạn AB. Ba nửa đường tròn (O), (O1), (O2) lấy AB, AC, BC làm các đường kính có các tâm O, O1, O2 tương ứng. Hai đường thẳng qua O1, O2 và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn (O) tại D1, D2 tương ứng. D1A, D1C cắt nửa đường tròn (O1) tại E1, F1 tương ứng. Tương tự D2C, D2B cắt nửa đường tròn (O2) tại E2, F2 tương ứng. (K1), (K2) là hai đường tròn lấy E1F1, E2F2 làm đường kính.

Như đã biết, bán kính các đường tròn Archimedes là:

r = r1*r2/(r1+r2) trong đó r1, r2 là bán kính của các nửa đường tròn (O1), (O2).

Trong (*) ta đã chứng minh rằng E1F1 = E2F2 = 2*r

Giả sử D1A, D1C cắt đường tròn (K1) tại G1, H1 tương ứng. Tương tự D2C, D2B cắt đường tròn (K2) tại G2, H2 tương ứng. Giờ ta chứng minh:

G1H1 + G2H2 = 2*r

Chứng minh:

Tam giác D1AC kết hợp với nửa đường tròn (O1) tạo thành một hình.
Tam giác D1E1F1 kết hợp với nửa đường tròn (K1) tạo thành một hình khác.
Hai hình này đồng dạng với nhau nên:

G1H1/E1F1 = E1F1/AC
G1H1 = E1F1* E1F1/AC = 2*r1*r2/(r1 + r2)*2*r1*r2/(r1 + r2)/(2*r1)
G1H1 = 2*r1*r2*r2/(r1 + r2)^2 (1)
Tương tự ta có:
G2H2 = 2*r1*r1*r2/(r1 + r2)^2 (2)
Cộng (1) và (2) :
G1H1 + G2H2 = (2*r1*r2*r2 + 2*r1*r1*r2)/(r1 + r2)^2
= 2*r1*r2*(r1 + r2)/ (r1 + r2)^2
= 2*r1*r2/(r1 + r2)
= 2*r
Vậy G1H1 + G2H2 = 2*r chính điều phải chứng minh.

Thông báo của tôi trên facebook Cut The Knot (3/1/2015):
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=847615095261427

Hết phần tiếng Việt.

Posted in Triangle Geometry | Tagged , , , , , | Leave a comment

Proof of Jo Niemeyer’s construction using Kurt Hofstetter’s construction – Chứng minh phép dựng Niemeyer dùng phép dựng Hofstetter

In “A simple construction of the golden section”, Forum Geometricorum, 11 (2011) 53:

http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201105index.html

Jo Niemeyer offered a beautiful way of constructing the Golden Ratio with three equal segments.

It is interesting that Jo Niemeyer’s construction can be proved by using Kurt Hofstetter’s construction in “A Simple Construction of the Golden Section”, Forum Geometricorum, 2 (2002) 65–66:

http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200208index.html

Detail as following:

We use diagram in Jo Niemeyer’s FG paper. L is perpendicular bisector of A1A2. The circle B3(A1) with diameter A2B2 with center B3 passing A1 cuts L at C, D (C is the same side with B3 wrt A1A2). The circle D(A1) centered at D passing B3, A2 cuts L at E (other than B3). The circle B3(E) pass through A3 because A3B3=A2B2=B3E. The circle D(C) pass through A3 because symmetries.

Four circles B3(A1), D(A1), B3(E), D(C) bound exactly Kurt Hofstetter’s construction in above paper.

My Hyacinthos Message:
https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/topics/20523

==============================

Trong bài báo “Một phép dựng đơn giản tỷ số vàng”, Forum Geometricorum, 11 (2011) 53:

http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201105index.html

Jo Niemeyer cung cấp một cách dựng tỷ số vàng rất đẹp với ba đoạn thẳng bằng nhau.

Rất thú vị là phép dựng Jo Niemeyer có thể được chứng minh bằng cách dùng phép dựng của Hofstetter trong bài báo “Một phép dựng đơn giản tỷ số vàng”, Forum Geometricorum, 2 (2002) 65–66:

http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200208index.html

Cụ thể như sau:

Ta dùng hình vẽ trong bài báo của Jo Niemeyer. L là đường trung trực của A1A2. Đường tròn B3(A1) đường kính A2B2 có tâm tại B3 đi qua A1 cắt L tại C, D (C ở cùng phía với B3 so với A1A2). Đường tròn D(A1) có tâm tại D, đi qua B3, A2 cắt L tại E (khác B3). Đường tròn B3(E) đi qua A3 bởi vì A3B3=A2B2=B3E. Đường tròn D(C) đi qua A3 bởi vì đối xứng.

Bốn đường tròn B3(A1), D(A1), B3(E), D(C) tạo thành chính xác phép dựng của Kurt Hofstetter trong bài báo trên.

Bài tôi đăng trên Hyacinthos forum:
https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/topics/20523

Posted in Triangle Geometry | Tagged , , , , , , , , , | Leave a comment

Golden Ratio in Parabola – Tỷ Số Vàng trong Parabola

Point E is orthogonal projection of focus F on directrix of a parabola. The circle with diameter EF intersects the parabola at two points A, B.

Results: Common chord AB divides diameter EF by golden ratio and of course AEF is golden triangle.

Proof

Suppsose M is intersection of AB, EF. Because A is on parabola so AF = CA = EM. Suppose EM/MF = x and MF = a.
We calculate:
EF = EM + MF = x*a + a
EA/MA = AF/MF = CA/MF = EM/MF = x
EA = x*MA = x*sqrt(EM*MF) = x*sqrt(x*a^2)
By Pythagore theorem:
EF^2 = EA^2 + AF^2
therefore:
(x*a + a)^2 = (x*sqrt(x*a^2))^2 + (x*a)^2
a^2*(x + 1)^2 = x^3*a^2 + x^2*a^2
(x + 1)^2 = x^2*(x + 1)
with condition x>1 there is only one solution x = φ the golden ratio.
EF/AF = AF/MF = φ therefore AEF is golden triangle.

My Hyacinthos message:
https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/topics/20461

==============================

Điểm E là hình chiếu vuông góc của tiêu cự F lên đường chuẩn của Parabola. Đường tròn đường kính EF cắt parabola tại hai điểm A, B.

Kết quả: Dây cung chung AB chia đường kính EF theo tỷ số vàng và dĩ nhiên, AEF là tam giác vàng.

Chứng minh

Giả sử M là giao của AB, EF. Vì A trên parabola nên AF = CA = EM. Giả sử EM/MF = x và MF = a.
Ta tính toán:
EF = EM + MF = x*a + a
EA/MA = AF/MF = CA/MF = EM/MF = x
EA = x*MA = x*sqrt(EM*MF) = x*sqrt(x*a^2)
Theo định lý Pythagore:
EF^2 = EA^2 + AF^2
suy ra:
(x*a + a)^2 = (x*sqrt(x*a^2))^2 + (x*a)^2
a^2*(x + 1)^2 = x^3*a^2 + x^2*a^2
(x + 1)^2 = x^2*(x + 1)
với điều kiện x>1 chỉ có một nghiệm duy nhất x = φ, tỷ số vàng.
EF/AF = AF/MF = φ suy ra AEF là tam giác vàng.

Bài tôi đăng trên Hyacinthos forum:
https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/topics/20461

Posted in Triangle Geometry | Tagged , , , , , , , , , , , | Leave a comment

Triangle Classification Diagram – Sơ đồ Phân loại Tam giác

In CTK arcticle Triangle Classification there is one interesting diagram of H. R. Jacobs. In one rectangle it represents all seven kinds of triangles of all classifications. I like it so much.

I slightly change it to get one fixed image in which all seven triangles are determined and their sides can be calculated. The diagram also can be constructed by following order of points: A, B, C, D, E, F, G, H.

Trong bài viết trên CTK nhan đề Triangle Classification có một sơ đồ rất thú vị của H. R. Jacobs. Trong một hình chữ nhật đã biểu thị được tất cả bảy loại tam giác khác nhau. Tôi rất thích nó.

Tôi thay đổi đi tý chút để có được một hình cố định, trong đó, tất cả bảy tam giác đều được xác định và các cạnh của chúng có thể tính được. Sơ đồ cũng có thể được dựng theo thứ tự điểm: A, B, C, D, E, F, G, H.

Posted in Triangle Geometry | Tagged , , , , , , , , , , , , , , , , , , | Leave a comment

When I die…

When I die…  two points still make a line
The constant distance still makes a circle
The trilinears and the barycentrics
Are still used on triangle center sites.

When I die…  something is still mine!

Khi tôi chết… hai điểm vẫn tạo nên đường thẳng
Khoảng cách không đổi vẫn tạo nên đường tròn
Tọa độ khối tâm và tọa độ ba khoảng cách
Vẫn được dùng trong các trang về tâm tam giác

Khi tôi chết… có gì đó vẫn còn là của tôi.

My Hyacinthos message #20351

Posted in Triangle Geometry | Tagged , , , , , , , , , , , , , , | Leave a comment