Ba Đường Tròn – Một Lục Giác Nội tiếp

Tôi tìm ra phương pháp đơn giản này để dựng sáu điểm trên các cạnh của tam giác và nằm trên một đường tròn vào ngày 6 tháng 4 năm 2006, và đã gửi lên Hyacinthos Geometry Forum.

.

Cụ thể như sau:

.

Định lý:

Nếu ba đường tròn đồng quy tại một điểm Ceva và ba điểm chung khác của chúng nằm trên ba đường thẳng Ceva và ba đường tròn này cắt các đường thẳng cạnh tam giác tại sáu điểm thì sáu điểm này nằm trên một đường tròn.

.
Chứng minh:

Giả sử P là một điểm trên mặt phẳng tam giác ABC; (Oa), (Ob), (Oc) là ba đường tròn đồng quy tại P và có ba điểm chung khác: Ao trên đường thẳng Ceva AP, Bo trên đường thẳng Ceva BP, Co trên đường thẳng Ceva CP. Điều đó có nghĩa là: (Oa) là đường tròn ngoại tiếp PBoCo, (Ob) là đường tròn ngoại tiếp PCoAo, (Oc) là đường tròn ngoại tiếp PAoBo .Giả sử (Oa), (Ob), (Oc) cắt các đường thẳng cạnh tam giác BC, CA, AB tại A1, A2, B1, B2, C1, C2 tương ứng. Ta chứng minh sáu điểm này nằm trên đường tròn.

.
Ta sử dụng định lý phương tích của đường tròn:
.

– Phương tích của A với các đường tròn (Ob)(Oc):
AC1*AC2 = AAo*AP = AB1*AB2 do đó B1, B2, C1, C2 nằm trên một đường tròn, giả sử là đường tròn (K)(K) cắt BC tại DE.

.
– Phương tích của
B với đường tròn (K): BC1*BC2 = BD*BE

– Phương tích của
B với đường tròn (Oc): BC1*BC2 = BBo*BP
Từ đó
BD*BE = BBo*BP nên D, E, Bo, P nằm trên một đường tròn, giả sử (K1)

.

– Phương tích của C với đường tròn (K): CB1*CB2 = CD*CE
– Phương tích của
C với đường tròn (Ob): CB1*CB2 = CCo*CP
Từ đó
CD*CE = CCo*CP nên D, E, Co, P nằm trên một đường tròn, giả sử (K2)

.

Hai đường tròn (K1), (K2) có ba điểm chung D, E, P do đó chúng là một, giả sử (K’). Đường tròn (K’) đi qua P, Bo, Co nên nó chính là đường tròn (Oa) = (K’) D, E là giao điểm của (Oa) và đường thẳng cạnh BC. Điều đó có nghĩa là D, E chính là A1, A2 và sáu điểm A1, A2, B1, B2, C1, C2 cùng nằm trên một đường tròn (K).

.

Chú ý:

1. Nói chung, ba đường tròn (Oa), (Ob), (Oc) có thể không cắt các đường thẳng cạnh tam giác ABC tuy nhiên trong những trường hợp đặc biệt của P ta có thể chọn các đường tròn thích hợp (Oa), (Ob), (Oc) để chúng luôn cắt các đường thẳng cạnh tam giác ABC. Ví dụ:

2. Nếu P là trực tâm H, ta có thể chọn (Oa) là đường tròn tâm tại trung điểm BC và đi qua H. (Ob), (Oc) được xác định tương tự.
3. Nếu
P là tâm nội tiếp I, ta có thể chọn (Oa) là đường tròn tâm tại tiếp điểm với BC và đi qua tâm nội tiếp I. (Ob), (Oc) được xác định tương tự.

4. Với mỗi P, ta có thể chọn các phương án khác nhau cho (Oa), (Ob), (Oc) và có được những kết quả thú vị khác nhau.

Advertisements

About hinhoc

To discover new interesting: first observe all strange, abnormal but then make them familiar, normal!
This entry was posted in Triangle Geometry and tagged , , , . Bookmark the permalink.

4 Responses to Ba Đường Tròn – Một Lục Giác Nội tiếp

  1. Cháu chào chú, bài toán của chú rất hay và lần đầu khi nhìn hình vẽ cháu cũng rất ấn tượng, sau khi đọc kỹ bài toán của chú cháu có một ý tưởng thế này

    Bài toán của chú thực chất có thể quy về chứng minh các đường trung trực của các đoạn A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2 đồng quy mà các trung trực này lại đi qua các tâmO_a,O_b,O_c cháu mới nghĩ đến một bài toán này

    Cho tam giác ABC và điểm P bất kỳ ta hãy vẽ các đường thẳng bất kỳ vuông góc với PA,PB,PC và chúng cắt nhau (tương ứng với A,B,C) tạo thành tam giác A'B'C' khi đó các đường thẳng qua A' vuông góc với BC, qua B' vuông góc CA và qua C' vuông góc AB sẽ đồng quy.

    Cháu tìm thấy qua linh cảm thôi chứ cháu cũng chưa chứng minh được mà cháu chỉ thử bằng máy tính thôi chú ạ :)!

  2. Ồ rất xin lỗi chú là bài toán của chú không hề đơn giản như cháu nói vì nó cần đến 6 trung trực đồng quy chứ không chỉ của 3 đoạn ấy :) để cháu suy nghĩ thêm về kết quả rất hay này của chú!

  3. Hai_Lua says:

    Bai toan chu cung kha hay ” lam chau suy nghi mai khong ra” hic
    Co bai toan chau thay hinh nhu cung tuong tu nhu bai toan tren:
    Cho tam giac ABC. Lay A’,B’, C’ lan luot thuoc BC, CA, AB. CMR:
    Cac duong tron ngoai tiep tam giac AB’C’, AC’A’,CA’B’ co chung mot diem M
    Tim dieu kien can va du de cho diem M nam tren duong tron ngoai tiep tam giac ABC

  4. anhcakho says:

    Bài giải của bác rất hay.
    Cháu có ý này: viêc chứng minh D trùng với A1, E trùng với A2 như sau:
    Ta có: BC 2.BC1 =BE .BD mà BC1.BC2 =BP..BB0 => BE.BD = BP..BB0 lại có
    BP. BB0=BA2.BA1=> BE.BD = BA2.BA1=> bốn điểm E,D,A2,A1 thuộc một đường tròn. Mặt khác: E,D,A2,A1 cùng nằm trên một đường thẳng BC =>
    D trùng với A1, E trùng với A2( có thể đổi thứ tự D,E cho nhau).

    Trường hợp P trùng với trực tâm H thì ta có: ba đường tròn OC ,Ob , Oa có bán kính bằng nhau. Điểm đối xứng với P qua BoCo sẽ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác A0BoC0.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s