Golden Ratio in Parabola – Tỷ Số Vàng trong Parabola

Point E is orthogonal projection of focus F on directrix of a parabola. The circle with diameter EF intersects the parabola at two points A, B.

Results: Common chord AB divides diameter EF by golden ratio and of course AEF is golden triangle.

Proof

Suppsose M is intersection of AB, EF. Because A is on parabola so AF = CA = EM. Suppose EM/MF = x and MF = a.
We calculate:
EF = EM + MF = x*a + a
EA/MA = AF/MF = CA/MF = EM/MF = x
EA = x*MA = x*sqrt(EM*MF) = x*sqrt(x*a^2)
By Pythagore theorem:
EF^2 = EA^2 + AF^2
therefore:
(x*a + a)^2 = (x*sqrt(x*a^2))^2 + (x*a)^2
a^2*(x + 1)^2 = x^3*a^2 + x^2*a^2
(x + 1)^2 = x^2*(x + 1)
with condition x>1 there is only one solution x = φ the golden ratio.
EF/AF = AF/MF = φ therefore AEF is golden triangle.

My Hyacinthos message:
https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/topics/20461

==============================

Điểm E là hình chiếu vuông góc của tiêu cự F lên đường chuẩn của Parabola. Đường tròn đường kính EF cắt parabola tại hai điểm A, B.

Kết quả: Dây cung chung AB chia đường kính EF theo tỷ số vàng và dĩ nhiên, AEF là tam giác vàng.

Chứng minh

Giả sử M là giao của AB, EF. Vì A trên parabola nên AF = CA = EM. Giả sử EM/MF = x và MF = a.
Ta tính toán:
EF = EM + MF = x*a + a
EA/MA = AF/MF = CA/MF = EM/MF = x
EA = x*MA = x*sqrt(EM*MF) = x*sqrt(x*a^2)
Theo định lý Pythagore:
EF^2 = EA^2 + AF^2
suy ra:
(x*a + a)^2 = (x*sqrt(x*a^2))^2 + (x*a)^2
a^2*(x + 1)^2 = x^3*a^2 + x^2*a^2
(x + 1)^2 = x^2*(x + 1)
với điều kiện x>1 chỉ có một nghiệm duy nhất x = φ, tỷ số vàng.
EF/AF = AF/MF = φ suy ra AEF là tam giác vàng.

Bài tôi đăng trên Hyacinthos forum:
https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/topics/20461

Advertisements

About hinhoc

To discover new interesting: first observe all strange, abnormal but then make them familiar, normal!
This entry was posted in Triangle Geometry and tagged , , , , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s