New property of Bui chord circles – Tính chất mới của đường tròn dây cung Bui

November 12, 2011 Alexander Bogomolny published in Cut The Knot my “Pair of Siblings to Archimedes’ Twins“:
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArbelosBui.shtml (*)

This pair later is collected by Floor van Lamoen in Online catalogue of Archimedean circles and named as “Bui chord circles“:
http://home.wxs.nl/~lamoen/wiskunde/Arbelos/58Buichords.htm

They also mentioned by Floor van Lamoen in Forum Geometricorum paperA Special Point in the Arbelos Leading to a Pair of Archimedean Circles“:
http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201427.pdf

My result is related to very famous special geometry shape named arbelos as in following diagram.
NewProp1000
C is any point on segment AB. Three semicircles (O), (O1), (O2) taken AB, AC, BC as diameters with centers O, O1, O2 respectively. Two lines from O1, O2 and perpendicular to AB intersect semicircle (O) at D1, D2 respectively. D1A, D1C intersect semicircle (O1) at E1, F1 respectively. Similarly D2C, D2B intersect semicircle (O2) at E2, F2 respectively. (K1), (K2) are two circles taken E1F1, E2F2 as diameters.

It is well known that the radius of Archimedes Twins is:

r = r1*r2/(r1+r2) here r1, r2 are radii of semicircles (O1), (O2).

In (*) we already proved that E1F1 = E2F2 = 2*r

Suppose D1A, D1C intersect circle (K1) at G1, H1 respectively. Similarrly D2C, D2B intersect circle (K2) at G2, H2 respectively. We now prove that:

G1H1 + G2H2 = 2*r

Proof:

Triangle D1AC combine with semicircle (O1) to create one figure.
Triangle D1E1F1 combine with semicircle (K1) to create other figure.
These two figures are similar therefore:
G1H1/E1F1 = E1F1/AC
G1H1 = E1F1* E1F1/AC = 2*r1*r2/(r1 + r2)*2*r1*r2/(r1 + r2)/(2*r1)
G1H1 = 2*r1*r2*r2/(r1 + r2)^2 (1)
And similarly we have:
G2H2 = 2*r1*r1*r2/(r1 + r2)^2 (2)
Sum (1) and (2) :
G1H1 + G2H2 = (2*r1*r2*r2 + 2*r1*r1*r2)/(r1 + r2)^2
= 2*r1*r2*(r1 + r2)/ (r1 + r2)^2
= 2*r1*r2/(r1 + r2)
= 2*r
So G1H1 + G2H2 = 2*r as needed.

My facebook Cut The Knot message (January 3, 2015):
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=847615095261427

End of English part.


Bắt đầu phần tiếng Việt.

Ngày 12/11/2011 Alexander Bogomolny xuất bản trên Cut The Knot kết quả của tôi “Pair of Siblings to Archimedes’ Twins“:
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArbelosBui.shtml (*)

Cặp đường tròn đó sau này được Floor van Lamoen đưa vào Online catalogue of Archimedean circles và đặt tên là “đường tròn dây cung Bui“:
http://home.wxs.nl/~lamoen/wiskunde/Arbelos/58Buichords.htm

Chúng cũng được Floor van Lamoen nhắc đến trong bài báo Forum GeometricorumA Special Point in the Arbelos Leading to a Pair of Archimedean Circles“:
http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201427.pdf

Kết quả đó của tôi liên quan tới một hình hình học đặc biệt nổi tiếng gọi là arbelos như trong hình vẽ sau.
NewProp1000
C là điểm bất kỳ trên đoạn AB. Ba nửa đường tròn (O), (O1), (O2) lấy AB, AC, BC làm các đường kính có các tâm O, O1, O2 tương ứng. Hai đường thẳng qua O1, O2 và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn (O) tại D1, D2 tương ứng. D1A, D1C cắt nửa đường tròn (O1) tại E1, F1 tương ứng. Tương tự D2C, D2B cắt nửa đường tròn (O2) tại E2, F2 tương ứng. (K1), (K2) là hai đường tròn lấy E1F1, E2F2 làm đường kính.

Như đã biết, bán kính các đường tròn Archimedes là:

r = r1*r2/(r1+r2) trong đó r1, r2 là bán kính của các nửa đường tròn (O1), (O2).

Trong (*) ta đã chứng minh rằng E1F1 = E2F2 = 2*r

Giả sử D1A, D1C cắt đường tròn (K1) tại G1, H1 tương ứng. Tương tự D2C, D2B cắt đường tròn (K2) tại G2, H2 tương ứng. Giờ ta chứng minh:

G1H1 + G2H2 = 2*r

Chứng minh:

Tam giác D1AC kết hợp với nửa đường tròn (O1) tạo thành một hình.
Tam giác D1E1F1 kết hợp với nửa đường tròn (K1) tạo thành một hình khác.
Hai hình này đồng dạng với nhau nên:

G1H1/E1F1 = E1F1/AC
G1H1 = E1F1* E1F1/AC = 2*r1*r2/(r1 + r2)*2*r1*r2/(r1 + r2)/(2*r1)
G1H1 = 2*r1*r2*r2/(r1 + r2)^2 (1)
Tương tự ta có:
G2H2 = 2*r1*r1*r2/(r1 + r2)^2 (2)
Cộng (1) và (2) :
G1H1 + G2H2 = (2*r1*r2*r2 + 2*r1*r1*r2)/(r1 + r2)^2
= 2*r1*r2*(r1 + r2)/ (r1 + r2)^2
= 2*r1*r2/(r1 + r2)
= 2*r
Vậy G1H1 + G2H2 = 2*r chính điều phải chứng minh.

Thông báo của tôi trên facebook Cut The Knot (3/1/2015):
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=847615095261427

Hết phần tiếng Việt.

Advertisements

About hinhoc

To discover new interesting: first observe all strange, abnormal but then make them familiar, normal!
This entry was posted in Triangle Geometry and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s